【题目】如图1,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点,以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC .
(1)求点C的坐标,并求出直线AC的关系式.
(2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证:BE=DE.
(3)如图3,在(1)的条件下,直线AC交x轴于M,P(,k)是线段BC上一点,在线段BM上是否存在一点N,使△BPN的面积等于△BCM面积的?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)C(﹣3,1),直线AC:y=x+2;(2)证明见解析;(3)N(﹣,0).
【解析】试题分析:(1)作CQ⊥x轴,垂足为Q,根据条件证明△ABO≌△BCQ,从而求出CQ=OB=1,可得C(﹣3,1),用待定系数法可求直线AC的解析式y=x+2;(2)作CH⊥x轴于H,DF⊥x轴于F,DG⊥y轴于G,证明△BCH≌△BDF,△BOE≌△DGE,可得BE=DE;(3)先求出直线BC的解析式,从而确定点P的坐标,假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积,然后可求出BN的长,比较BM,BN的大小,判断点N是否在线段BM上即可.
试题解析:解:(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q,
∴∠OBA+∠OAB=90°,∠OBA+∠QBC=90°,
∴∠OAB=∠QBC,
又∵AB=BC,∠AOB=∠Q=90°,
∴△ABO≌△BCQ,
∵BQ=AO=2,OQ=BQ+BO=3,CQ=OB=1,
∴C(﹣3,1),
由A(0,2),C(﹣3,1)
可知,直线AC:y=x+2;
(2)如图2,作CH⊥x轴于H,DF⊥x轴于F,DG⊥y轴于G,
∵AC=AD,AB⊥CB,
∵BC=BD,
∴△BCH≌△BDF,
∴BF=BH=2,
∴OF=OB=1,
∵DG=OB,
∴△BOE≌△DGE,
∴BE=DE;
(3)如图3,直线BC:y=﹣x﹣,P(,k)是线段BC上一点,
∴P(﹣,),由y=x+2知M(﹣6,0),
∴BM=5,则S△BCM=.
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积,
则BN·=×,
∴BN=,ON=,
∴BN<BM,
∴点N在线段BM上,
∴N(﹣,0).
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【题目】某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12米.计划建造车棚的面积为80平方米,已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米.
(1)为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门,那么这个车棚的长和宽分别应为多少米?
(2)如图,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路,使得停放自行车的面积为54平方米,那么小路的宽度是多少米?
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【题目】有下列命题:①对顶角相等;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c;④ac=bc,则a=b.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,已知E是ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F,连接AC、BF,若EF=EC,试判断四边形ABFC是什么四边形,并证明.
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【题目】如图,已知AB ,在AB,CD之间取一点E,连接EA,EC,试探索 AEC与 EAB, ECD之间的关系若点E取在AC上如图,则 AEC,由此可得 AEC EAB ECD或 AEC EAB ECD如果点E取在AC的两侧如图,结论会是什么?
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【题目】宁波位于东南沿海,中国大陆海岸线中段,陆域总面积约为9816平方公里.其中9816用科学记数法表示为( )
A.918.6×10B.91.86×102C.9.186×103D.0.9186×104
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【题目】已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D.
(1)若∠AOB=60°,AB∥x轴,AB=2,求a的值;
(2)若∠AOB=90°,点A的横坐标为﹣4,AC=4BC,求点B的坐标;
(3)延长AD、BO相交于点E,求证:DE=CO.
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【题目】某镇正在建造的文化广场工地上,有两种铺设广场地面的材料,一种是长为 cm,宽为cm的长方形板材(如图),另一种是边长为cm的正方形地砖(如图②)
(1)用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形?并写出新正方形的面积
(写出一个符合条件的答案即可);
(2)我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问
题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一,所谓“作差
法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号来确定它们的大小,即要比较代数式M、
N的大小,只要作出它们的差,若,则;若,则
;若,则.
请你用“作差法”解决以下问题:用如图①所示的四块长方形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大长方形,中间分别空出一个小正方形和小长方形(图中阴影部分);
① 请用含、的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积;
② 试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大?大多少?
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