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【题目】如图1,已知直线y=2x+2y轴、x轴分别交于AB两点,以B为直角顶点在第二象限作等腰RtABC

1)求点C的坐标,并求出直线AC的关系式.

2)如图2,直线CBy轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证:BE=DE

3)如图3,在(1)的条件下,直线ACx轴于MPk)是线段BC上一点,在线段BM上是否存在一点N,使BPN的面积等于BCM面积的?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)C31),直线ACy=x+2;(2)证明见解析;(3N0).

【解析】试题分析:(1)作CQ⊥x轴,垂足为Q,根据条件证明△ABO≌△BCQ,从而求出CQ=OB=1,可得C﹣31),用待定系数法可求直线AC的解析式y=x+2;(2)作CH⊥x轴于HDF⊥x轴于FDG⊥y轴于G,证明△BCH≌△BDF△BOE≌△DGE,可得BE=DE;(3)先求出直线BC的解析式,从而确定点P的坐标,假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积,然后可求出BN的长,比较BM,BN的大小,判断点N是否在线段BM上即可.

试题解析:解:(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q

∴∠OBA+∠OAB=90°∠OBA+∠QBC=90°

∴∠OAB=∠QBC

∵AB=BC∠AOB=∠Q=90°

∴△ABO≌△BCQ

∵BQ=AO=2OQ=BQ+BO=3CQ=OB=1

∴C﹣31),

A02),C﹣31

可知,直线ACy=x+2

2)如图2,作CH⊥x轴于HDF⊥x轴于FDG⊥y轴于G

∵AC=ADAB⊥CB

∵BC=BD

∴△BCH≌△BDF

∴BF=BH=2

∴OF=OB=1

∵DG=OB

∴△BOE≌△DGE

∴BE=DE

3)如图3,直线BCy=﹣x﹣Pk)是线段BC上一点,

∴P),由y=x+2M﹣60),

∴BM=5,则SBCM=

假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积,

BN·=×

∴BN=ON=

∴BNBM

N在线段BM上,

∴N0).

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