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【题目】如图,在正方形ABCD中,边长为4,∠MDN90°,将∠MDN绕点D旋转,其中DM边分别与射线BA、直线AC交于EQ两点,DN边与射线BC交于点F;连接EF,且EF与直线AC交于点P

1)如图1,点E在线段AB上时,①求证:AECF;②求证:DP垂直平分EF

2)当AE1时,求PQ的长.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1)①只要证明ADE≌△CDEASA)即可解决问题;

②利用相似三角形的性质证明∠PDQ=45°即可解决问题;

(2)作QHADHQEABG.由AQD∽△EQP,可知AQPQDQEQ,想办法求出AQEQDQ即可解决问题;

(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,

DADCADCDAEDCF=90°,

∴∠ADCMDN=90°,

∴∠ADECDF

∴△ADE≌△CDEASA),

AECF

②∵△ADE≌△CDEASA),

DEDF∵∠MDN=90°,

∴∠DEF=45°,

∵∠DAC=45°,

∴∠DAQPEQ∵∠AQDEQP

∴△AQD∽△EQP

∵∠AQEPQD

∴△AQE∽△DQP

∴∠DDPQAE=45°,

∴∠DPE=90°,

DPEF

DEDF

PEPF

DP垂直平分线段EF

(2)解:作QHADHQEABG

RtADE中,DE

∵∠QAHQAG=45°,

HOQEAHEQ,设QHx

×4×x+×1×x×1×4,

x

AQDQEQ

∵△AQD∽△EQP

AQPQDQEQ

PQ

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(4)作点 O 关于 PC 的对称点O ,在点 P 的整个运动过程中,当点O 落在APB 的内部 (含边界)时,请写出 m 的取值范围.

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