Question

【题目】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45°，∠BAF=15°

（1）求证：DE﹣EF=BF；

（2）若AD=，求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3 ﹣3．

【解析】

试题

（1）在DE上取一点G，使DG=BF，先证：△ABF≌△ADG；再证：△AFE≌△AGE可得EF=GE，从而可得DE-EF=DE-GE=DG=BF；

（2）由AB∥CD，可得∠AED=∠BAE=30°，从而可在△ADE中求得DE=3，进而可得CE=3﹣；再由（1）△AFE≌△AGE可得∠AEF=∠AED=30°，进而可得∠CFE=90°﹣∠AEF﹣∠AED=90°﹣30°﹣30°=30°，从而可得：GE=EF=2CE=2（3﹣）=6﹣，由S△AEF=S△AGE=GEAD就可计算出所求面积.

试题解析：

（1）在DE上取一点G，使DG=BF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，

在△ABF和△ADG中， ，

∴△ABF≌△ADG（SAS），

∴∠DAG=∠BAF=15°，AG=AF，

∵∠EAF=45°，∠BAF=15°，

∴∠BAE=∠EAF﹣∠BAF=45°﹣15°=30°，

∴∠GAE=90°﹣15°﹣30°=45°，

∴∠GAE=∠FAE=45°，

在△AFE和△AGE中，，

∴△AFE≌△AGE（SAS），

∴EF=GE，

∴EF+BF=EG+DG=DE，

∴DE﹣EF=BF；

（2）∵AB∥CD，

∴∠AED=∠BAE=30°，

∴DE=AD=×=3，

∴CE=DE﹣CD=3﹣，

由（1）△AFE≌△AGE可得∴∠AEF=∠AED=30°，

∴∠CFE=90°﹣∠AEF﹣∠AED=90°﹣30°﹣30°=30°，

∴GE=EF=2CE=2（3﹣）=6﹣2，

∴S△AGE=（6﹣2）×=3﹣3，

∴S△AEF=S△AGE=3 ﹣3．