Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为上一点，BF交CD于G，点H在CD的延长线上，且FH＝GH．

（1）求证：FH与⊙O相切．

（2）若FH＝OA＝5，FG＝3，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）连接OF，通过角之间的等量代换证明∠OFH为90°，即可得FH与⊙O相切；
（2）连接AF，作HK⊥FG于K，由FH=GH，利用等腰三角形的三线合一，可求KG，进而得出sin∠EBG等于sin∠KHG，求出AF，在直角三角形AFG中，利用勾股定理可求得AG的长．

（1）证明：连接OF，

∵FH＝GH．

∴∠GFH＝∠FGH，

∵∠FGH＝∠BGE，

∴∠GFH＝∠BGE，

∵OB＝OF，

∴∠B＝∠BFO，

∵AB⊥CD，

∴∠B+∠BGE＝90°，

∴∠BFO+∠GFH＝90°，即∠OFH＝90°，

∴FH与⊙O相切；

（2）解：连接AF，作HK⊥FG于K，

∵HF＝HG，HK⊥FG，

∴FK＝KG＝，

∵HF＝HG，FH＝OA＝5，

∴HF＝HG＝5，

∵∠BEG＝∠HKG＝90°，∠BGE＝∠HGK，

∴∠EBG＝∠KHG，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

∴sin∠EBG＝sin∠KHG＝÷5＝，

∴AF＝，

∴在直角三角形AFG中，AG＝＝6．

∴AG的长为6．