Question

9．如图，已知AD是等边△ABC的角平分线，点E是AB的中点，且AD=6，BD=2$\sqrt{3}$，点M是AD上一动点，求△BEM的周长的最小值．

Answer 1

分析 连接CE，则CE的长度即为ME与MB和的最小值，那么CE+BE的和就是△BEM的周长的最小值．

解答 解：如图，连接CE，与AD交于点M，此时ME+MB最小，
∵△ABC是等边三角形，AD是等边△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴MC=MB，
∴ME+MB=MC+ME=CE，
即CE就是ME+MB的最小值，
∵AD=6，BD=2$\sqrt{3}$，
∴AB=BC=2BD=4$\sqrt{3}$
∵点E是边AB的中点，
∴∠BEC=90°，BE=2$\sqrt{3}$，BE=AD=6，
∴△BEM的周长的最小值是6+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．