Question

13．已知△ABC，且△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．

Answer 1

分析 （1）由△DFB≌△ACB，推出DF=AC=AE，同理由△CEF≌△CAB，得EF=AB=AD，由此根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明．
（2）若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；只要证明∠DAE=90$°\\;\$即可．
（3）若AB=AC，∠BAC=150°则平行四边形AEFD是正方形．只要证明四边形ADFE是菱形又是矩形即可．

解答 解：（1）证明：∵△ABD、△CBF是等边三角形，
∴BD=AB，BF=CB，∠DBA=∠FBC=60°，
∴∠DBF=∠ABC=60°-∠ABF，
在△DFB和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AB}\\{∠DBF=∠ABC}\\{BF=BC}\end{array}\right.$
∴△DFB≌△ACB，
∴DF=AC=AE，
同理由△CEF≌△CAB，得EF=AB=AD，
∵AD=EF，FD=EA，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；
理由：由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD=90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形；
故答案为∠BAC=150°．
（3）若AB=AC，∠BAC=150°则平行四边形AEFD是正方形；
由（1）可知AD=AE，四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是菱形，
∵∠BAC=150°，由（2）可知四边形ADFE是矩形，
∴四边形ADFE是正方形．

点评 此题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键，属于中考常考题型．