【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B、C(点B在点C左侧).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)若抛物线C2:y=a(x﹣1)2﹣1(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)B(﹣1,0);(3)a的取值范围为≤a≤4.
【解析】
(1)直接把点A的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+4得m+4=3,然后求出m的值即可得到抛物线的解析式;
(2)利用抛物线与x轴的交点问题,通过解方程x2+2x+3=0可得到B点坐标;
(3)抛物线y=a(x﹣1)2﹣1(a≠0)的顶点坐标为(1,﹣1),则开口向上,根据二次函数的性质,抛物线C2与线段AB的公共点为B点时,a最小;当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时,a最大,然后把A、B两点的坐标分别代入计算出对应的a的值,从而可确定a的取值范围.
(1)把A(0,3)代入y=mx2﹣2mx+m+4得m+4=3,解得m=﹣1,
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,
所以B(﹣1,0);
(3)抛物线C2:y=a(x﹣1)2﹣1(a≠0)的顶点坐标为(1,﹣1),
因为抛物线C2与线段AB恰有一个公共点,则开口向上,
当抛物线C2与线段AB的公共点为B点时,a最小,把B(﹣1,0)代入y=a(x﹣1)2﹣1得4a﹣1=0,解得a=;
当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时,a最大,把A(0,3)代入y=a(x﹣1)2﹣1得a﹣1=3,解得a=4,
所以a的取值范围为≤a≤4.
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【题目】已知反比例函数(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).
(1)求这个函数的解析式;
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(3)当-3<x<-1时,求y的取值范围.
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【题目】如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=-x-(k+1)在第二象限的交点.AB⊥x轴于B,且S△ABO=.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求直线与双曲线的两个交点A.C的坐标和△AOC的面积.
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【题目】一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB=8m,隧道的最高点C到公路的距离为6m.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)现有一辆货车的高度是4.4m,货车的宽度是2m,为了保证安全,车顶距离隧道顶部至少0.5m,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.
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【题目】如图,在四边形中,, 是的中点.点以每秒1个单位长度的速度从点出发,沿向点运动;点同时以每秒3个单位长度的速度从 点出发,沿向点运动.点停止运动时,点也随之停止运动.当运动时间秒时,以点为顶点的四边形是平行四边形.则的值为_________.
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【题目】在正方形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE,BF平分∠EBC交CD于点F,交AC于点G,将△CGF沿直线GF折叠至△C′GF,BD与△C′GF相交于点M、N,连接CN,若AB=6,则四边形CNC′G的面积是_____.
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【题目】如图,点,分别是锐角两边上的点,分别以点,为圆心,以,的长为半径画弧,两弧相交于点,连接,.
(1)请你判断所画四边形的形状,并说明理由;
(2)若,请判断此四边形的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接,若厘米,,求线段的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为,阴影三角形部分的面积从左向右依次记为、、、、,则的值为______用含n的代数式表示,n为正整数
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【题目】如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度.
(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:1.414,1.732)
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