如图.在平面直角坐标系中.点A.B分别是y.x轴上两点.连接AB.若∠OAB=45°.且AB=2$\sqrt{2}$.(1)求△AOB的面积,(2)点C是点B关于y轴的对称点.一动点P以每秒1个单位长度的速度从点C沿x轴正方向运动.连接AP并将线段AP并将线段AP绕点P顺时针旋转45°得到线段PF.过点A作AD⊥PF于点D.设点P的运动时间为t.试用含t的代数式表示点D的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别是y、x轴上两点，连接AB，若∠OAB=45°，且AB=2$\sqrt{2}$，
（1）求△AOB的面积；
（2）点C是点B关于y轴的对称点，一动点P以每秒1个单位长度的速度从点C沿x轴正方向运动，连接AP并将线段AP并将线段AP绕点P顺时针旋转45°得到线段PF，过点A作AD⊥PF于点D，设点P的运动时间为t，试用含t的代数式表示点D的坐标；
（3）点E是点D关于AP的对称点，连接OD，是否存在t值，使以点O、E、P为顶点的三角形全等于△OAD？若存在，求出t值并写出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据已知条件得到OA=OB，利用勾股定理求出OA=OB=2，根据三角形的面积公式即可解答；
（2）如图2，过点P作PN⊥AC于点N，过点D作DM⊥BC于点M，由△ANP∽△PMD，相似比为$\sqrt{2}$：1，得到$\frac{AN}{PM}=\frac{PN}{DM}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，设OP=t，求出PM=2-$\frac{t}{2}$，DM=$\frac{t}{2}$，得到OM=PM-OP=2-$\frac{t}{2}$-（2-t）=$\frac{t}{2}$，所以D（$\frac{t}{2}，\frac{t}{2}$）．
（3））由点E是点D关于AP的对称点，得到∠APD=∠APE=45°，求出PD=AD，若OP=OD，则∠EPO=∠ODA，则△AOD≌△EOP（SAS），当OP=OD时，（3）满足条件，即2-t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，解得t=4-2$\sqrt{2}$，如图3，过点E作EK⊥BC，则△EPK≌△PDM，得到EK=PM，PK=DM=2-$\sqrt{2}$，求出PM=$\sqrt{2}$，根据EK=PM=OK，所以EK=$\sqrt{2}$，从而得到E（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

解答解：（1）∵∠OAB=45°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，
∵AB=2$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=2，
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}×2×2$=2．
（2）如图2，过点P作PN⊥AC于点N，过点D作DM⊥BC于点M，

由△ANP∽△PMD，相似比为$\sqrt{2}$：1，
∴$\frac{AN}{PM}=\frac{PN}{DM}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，
设OP=t，
∵∠ACO=45°，PN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
AN=AC-CN=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴PM=2-$\frac{t}{2}$，DM=$\frac{t}{2}$，
∴OM=PM-OP=2-$\frac{t}{2}$-（2-t）=$\frac{t}{2}$，
∴D（$\frac{t}{2}，\frac{t}{2}$）．
（3）∵点E是点D关于AP的对称点，
∴∠APD=∠APE=45°，
∴∠EPF=90°，PE=PD，
∵PE=AD，
∴PD=AD，
若OP=OD，则∠EPO=∠ODA，
△AOD≌△EOP（SAS），
当OP=OD时，（3）满足条件，
即2-t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t
t=4-2$\sqrt{2}$，
如图3，过点E作EK⊥BC，则△EPK≌△PDM，

EK=PM，PK=DM=2-$\sqrt{2}$，
∴OP=OD=2$\sqrt{2}$-2，
∴PM=PO+OM=2$\sqrt{2}$$-2+2-\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∵EK=PM=OK，
∴EK=$\sqrt{2}$，
∴E（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作出辅助线，构建三角形全等．

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