Question

【题目】（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 是 BC 中点，若 AE 是∠BAD 的平分线，试探究 AB，AD，DC 之间的数量关系，请直接写出结论，无需证明．

（2）如图 2，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AF 与DC 的延长线交于点F，E 是BC 中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB，AF，CF 之间的数量关系，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明详见解析.

【解析】

（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB＝FC，根据等腰三角形的判定得到DF＝AD，证明结论；

（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明．

（1）延长AE交DC的延长线于点F．

∵E是BC的中点，∴CE＝BE．

∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F．

在△AEB和△FEC中，∵，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC．

∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠EAD．

∵∠BAE＝∠F，∴∠EAD＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝DF＝DC+CF＝DC+AB；

（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G．

∵E是BC的中点，∴CE＝BE．

∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．

在△AEB和△GEC中，∵，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC．

∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG．

∵∠BAE＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF．