【题目】如图,已知在中,点是的中点,连接并延长,交的延长线于点.
(1)求证:.
(2)连接,,当______时,四边形是正方形.请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)45°
【解析】
(1)根据平行线的性质可得∠D=∠OCE,∠DAO=∠E,再根据中点定义可得DO=CO,然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC;
(2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形,首先证明四边形ACED是平行四边形,再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠D=∠OCE,∠DAO=∠E.
∵O是CD的中点,
∴OC=OD,
在△ADO和△ECO中,
,
∴△AOD≌△EOC(AAS);
(2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.如图;
∵△AOD≌△EOC,
∴OA=OE.
又∵OC=OD,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,
∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠COE=∠BAE=90°.
∴ACED是菱形.
∵AB=AE,AB=CD,
∴AE=CD.
∴菱形ACED是正方形.
故答案为:45.
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【题目】如图乙,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)如图甲,将△ADE绕点A 旋转,当C、D、E在同一条直线上时,连接BD、BE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是 .
① ② ③ ④
(2)若AB=4,AD=2,把△ADE绕点A旋转,
①当∠EAC=90°时,求PB的长;
②求旋转过程中线段PB长的最大值.
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【题目】如图,菱形OABC,A点的坐标为(5,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线y=(x>0)经过D点,交BC的延长线于E点,交AB于F点,连接OF交AC于M,且OBAC=40.有下列四个结论:①k=8;②CE=1;③AC+OB=6;④S△AFM:S△AOM=1:3.其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④
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【题目】如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD
(1) 求证:E是OB的中点
(2) 若AB=8,求CD的长
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【题目】(1)(探究)如图,在等边△ABC中,AB=4cm,点M为边BC的中点,点N为边AB上的任意一点(不与点A,B重合).若点B关于直线MN的对称点B′恰好落在等边△ABC的边上,求BN的长.
(2)(拓展)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC边上的中线,过点D作DE⊥AB于点E,且sin∠DAB= ,DB=3.求AB的长.
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【题目】如图,等腰△OAB的底边OB恰好在x轴上,反比例函数y=的图象经过AB的中点M,若等腰△OAB的面积为24,则k=( )
A. 24B. 18C. 12D. 9
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【题目】重庆小面是一款发源于山城重庆的地方特色传统小吃,是重庆最受欢迎的美食之一.重庆小面佐料丰富且用料考究,不同店面还根据自身菜谱加入豌豆、牛肉、肥肠、杂酱等,口感独特,麻辣鲜香,近年来闻名全国,某天,小明家花了48元购买牛肉面作为早饭,小华家花了28元购买豌豆面作为早饭,且小明家购买牛肉面的碗数与小华家购买豌豆面的碗数相同.已知面馆一碗豌豆面的价格比一碗牛肉面的价格少5元.
(1)求购买一碗豌豆面和一碗牛肉面各需要多少元?
(2)面馆一碗豌豆面的成本为4元,一碗牛肉面的成本为7元,某天面馆卖出豌豆面和牛肉面共400碗,且卖出的豌豆面和牛肉面的总利润不低于1800元,则面馆当天至少卖出牛肉面多少碗?
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【题目】童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销,该店决定降价销售,经市场调查反应:每降价1元,每星期可多卖10件已知该款童装每件成本30元设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
求y与x之间的函数关系式不求自变量的取值范围;
当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得3910元的利润?
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