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【题目】如图,菱形OABCA点的坐标为(50),对角线OBAC相交于D点,双曲线yx0)经过D点,交BC的延长线于E点,交ABF点,连接OFACM,且OBAC40.有下列四个结论:①k8;②CE1;③AC+OB6;④SAFMSAOM13.其中正确的结论是(  )

A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④

【答案】D

【解析】

首先过点DDHx轴于点H,由菱形OABC中,ACOB=40,可求得菱形OABC的面积,继而求得△AOD的面积,则可求得高DH,然后由射影定理,可得DH2=OHAH,继而求得①正确;过CCGx轴于点G,根据平行线等分线段定理和三角形的中位线的性质得到CG=2DH=4AG=2AH=2,求得C34),E24),于是得到CE=1,故②正确;根据勾股定理得到AC+OB=6;故③正确;过FFNx轴于点N,设FN=4xAN=3x,根据三角形的面积公式得到x=,根据相似三角形的性质得到,于是得到SAFMSAOM=13,故④正确.

解:过点DDHx轴于点H

∵菱形OABC中,ACOB40

S菱形OABCACOB20

SOADS菱形OABC5

SOADOADH,且OA5

DH2

DH2OHAH4OH+AH5

OH4AH1

∴点D42),

k4×28.故①正确;

CCGx轴于点G

DHCG

ADCD

CG2DH4AG2AH2

OG3

C34),

E24),

CE1,故②正确;

CG4AG2

AC2

DH2OH4

OD2

OB4

AC+OB6;故③正确;

FFNx轴于点N

OCAB

∴∠COG=∠FAN

tanCOGtanFAN

FN4xAN3x

SOFN5+3x)×4x4

x

FNAN1

∵△OCG∽△AFN

3

OCAF

∴△AMF∽△CMO

3

SAFMSAOM13,故④正确,

故选:D

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