Question

【题目】如图，已知是半圆的直径，点是半圆上一点，连结，并延长到点，使PC =，连结．

求证：．

若，．

①求弦的长．②求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②

【解析】

（1）连接AP，由圆周角定理可知∠APB=90°，故AP⊥BC，再由PC=PB即可得出结论；

（2）①先根据直角三角形的性质求出AP的长，再由勾股定理可得出PB的长；

②连接OP，根据直角三角形的性质求出△PAB的度数，由圆周角定理求出∠POB的长，根据S阴影=S扇形BOP﹣S△POB即可得出结论．

（1）连接AP．

∵AB是半圆O的直径，∴∠APB=90°，∴AP⊥BC．

∵PC=PB，∴△ABC是等腰三角形，即AB=AC；

（2）①∵∠APB=90°，AB=4，∠ABC=30°，∴AP=AB=2，∴BP===2；

②连接OP．

∵∠ABC=30°，∴∠POA=60°，∴∠POB=120°．

∵点O时AB的中点，∴S△POB=S△PAB=×APPB=×2×2=，∴S阴影=S扇形BOP﹣S△POB

=﹣

=π﹣．