Question

如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB于P．
（1）求证：PC²=PA•PB；
（2）若CP=4

3

，AB=16，求AP、PB的长．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AC，BC，易证Rt△APC∽Rt△CPB，根据相似三角形的性质，可以证得．
（2）设PA=x，则PB=AB-PA=16-x，代入（1）的结论即可求得．

解答：解：（1）连接AC，BC，
∵AB是直径，CD⊥AB于P，
∴

BC

=

BD

，
∵∠CAB、∠BCP所对的圆弧相同，
∴∠CAB=∠BCP，
∴Rt△APC∽Rt△CPB，
∴

PA

PC

=

PC

PB

，
∴PC²=PA•PB；
（2）∵PC²=PA•PB
∵CP=4

3

，AB=16，
设PA=x，则PB=AB-PA=16-x，
∴（4

3

）²=x（16-x），解得：x₁=12，x₂=4，
∴PA=12，PB=4．

点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理相似三角形判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．