Question

已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE．
求证：（1）EF=FP=PQ=QE；
（2）四边形EFPQ是正方形．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，又由AF=BP=CQ=DE，即可得DF=CE=BQ=AP，然后利用SAS即可证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证得EF=FP=PQ=QE；
（2）由EF=FP=PQ=QE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BPQ，易得∠FPQ=90°，即可证得四边形EFPQ是正方形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵AF=BP=CQ=DE，
∴DF=CE=BQ=AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，

AF=DE=CQ=BP ∠A=∠D=∠C=∠B AP=DF=CE=BQ

，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF=FP=PQ=QE；

（2）∵EF=FP=PQ=QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP=∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF=90°，
∴∠APF+∠BPQ=90°，
∴∠FPQ=90°，
∴四边形EFPQ是正方形．

点评：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意解题的关键是证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP．