[题目]一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后.他从杆顶到屋顶四角之间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米.另一根长1米.则最后一根的长度应为( )A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 12米题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后，他从杆顶到屋顶四角之间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米，另一根长1米，则最后一根的长度应为（）

A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 12米

【答案】A

【解析】

本题是一道竞赛题，涉及“矩形内的勾股定理”，即：矩形内任一点到相对两个顶点的距离的平方和相等，据此即可轻松解答．

解：如图(1)，矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；

如图(2)，存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF，

于是有FD2PF2+BF2PF2=AF2PF2+FC2FP2，

整理得FD2+BF2=AF2+FC2，

于是72+42=12+FC2，

解得FC=8.

故选A.

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求证：CD= AB．

证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE=∠B，

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∵∠BCE=∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵ ，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE= AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD= AB．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

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