Question

2．如图，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，动点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，动点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．
（1）直接写出点A（-2，0）、点C（0，2）的坐标，求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据根据线段的和差，可得OP的长，CQ的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据余弦函数，可得AE的长，根据相似三角形的判定与性质，可得GH的长，根据余弦函数，可得GC的长，根据线段的和差，可得答案．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}$x²+2，当x=0时，y=2，即C（0，2），
当y=0时，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0）．
设直线AC的解析式是y=kx+b，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直线AC的解析式是y=x+2；
（2）当0≤t＜2时，OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=$\frac{1}{2}$（2-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+t，
当2＜t≤4时，OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面积为：S=$\frac{1}{2}$（t-2）t=$\frac{1}{2}$t²-t，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+t（0＜t＜2）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-t（2≤t≤4）}\end{array}\right.$；
（3）EG的长度不变，
当0＜t＜2时，如图1，过G作GH⊥y轴，垂足为H．

由AP=t，可得AE=AP•cos∠PAE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
∵GH∥OP，
∴$\frac{GH}{PO}$=$\frac{QH}{QO}$，即$\frac{GH}{2-t}$=$\frac{GH+t}{2+t}$，
解得GH=1-$\frac{t}{2}$，
∴GC=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
于是GE=AC-AE-GC=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）=$\sqrt{2}$，
即GE的长度不变；
当2＜t≤4时，如图2，过G作GH⊥y轴，垂足为H．

由AP=t，可得AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
由$\frac{GH}{PO}$=$\frac{QH}{QO}$，$\frac{GH}{t-2}$=$\frac{t-GH}{2+t}$，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=$\frac{t-2}{2}$，GC=$\sqrt{2}$GH=$\frac{\sqrt{2}（t-2）}{2}$．
于是GE=AC-AE+GC=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t+$\frac{\sqrt{2}（t-2）}{2}$=$\sqrt{2}$，
即CE的长度不变．
综上所述：当P点运动时，线段EG的长度不发生不变化，为定值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系求图象与坐标轴的交点，利用待定系数求函数解析式；利用三角形的面积得出函数解析式是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用相似三角形的判定与性质得出GH的长是解题关键，又利用了锐角三角函数，线段的和差，要分类讨论，以防遗漏．