Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析 由勾股定理求出AC，分三种情况：①CD=BD时，∠C=∠DBC，证出BD=AD，得出CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=2.5，即可得出结果；②当CD=BC时，CD=3，即可得出结果；③当BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，则CF=DF，由三角形的面积求出BF，由勾股定理求出CF，得出CD，即可得出结果．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
分三种情况：
①CD=BD时，∠C=∠DBC，
∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=2.5，即t=2.5；
②当CD=BC时，CD=3，即t=3；
③当BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，如图所示：
则CF=DF，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴BF=$\frac{3×4}{5}$=2.4，
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-2．{4}^{2}}$=1.8，
∴CD=3.6，即t=3.6．
综上所述：当运动时间t为2.5或3或3.6秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面积的计算等知识；熟练掌握勾股定理，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．