Question

5．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）当∠ACF=32°，∠B=46°时，求∠BCE的度数；
（3）求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）由△AED≌△CFD，得到∠EAD=∠ACF=32°，由作图知，直线PQ是AC 的垂直平分线，得到∠ECD=∠EAD=32°，然后根据三角形的内角和定理即可得到；
（3）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．

解答 解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠FCA}\\{AD=CD}\\{∠CFD=AED}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，
∴∠EAD=∠ACF=32°，
由作图知，直线PQ是AC 的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠ECD=∠EAD=32°，
∴∠BCE=180°-∠EAD-∠B-∠ECA=70°；

（3）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，三角形的内角和，解题的关键是知道通过作图能得到直线的垂直平分线．