【题目】(1)如图1,在中,
90°,点
为
的中点,以
为一边作正方形
,点
恰好与点
重合,则线段
与
的数量关系为________;
(2)在(1)的条件下,如果正方形绕点
旋转,连接
,
①线段与
的数量关系有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
②当正方形旋转到
三点共线时,直接写出线段
的长.
【答案】(1);(2)①不变化,证明见解析;②
或
.
【解析】
(1)先利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD,再得出AD=AF,即可得出结论;
(2)①先利用等腰直角三角形和正方形的性质得:,并证明夹角相等即可得出△ACF∽△BCE,进而得出结论;
②分两种情况:当点E在线段BF上时,如图2,先利用勾股定理求出EF=CF=AD=2,BF=2
,即可得出BE=2
-2
,借助(2)得出的结论;当点E在线段BF的延长线上,同前一种情况一样即可得出结论.
解:(1)BE=AF,理由如下:
在Rt△ABC中,AB=AC,
∵D是BC的中点,
∴AD=BC=BD,AD⊥BC,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AB=AD,
∵正方形CDEF,
∴DE=EF,
当点E恰好与点A重合,
∴AB=AD=
AF,即BE=
AF,
故答案为:BE=AF;
(2)①不变化,证明如下:
证明:,
.
,
,
.
四边形
是正方形,
,
,
,
.
又,
,
;
②当点E在线段AF上时,如图2,
由(1)知,CF=EF=CD=2,
在Rt△BCF中,CF=2,BC=4
,根据勾股定理得,BF=2
,
∴BE=BF-EF=2-2
,
由(2)知,BE=AF,
∴AF=2-2,
当点E在线段BF的延长线上时,如图3,
在Rt△ABC中,AB=AC=4,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴sin∠ABC=
∵∠FCE=∠ACB=45°,
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE,
∴∠FCA=∠ECB,
∴△ACF∽△BCE,
,
∴BE=AF,
由(1)知,CF=EF=CD=2,
在Rt△BCF中,CF=2,BC=4
,
根据勾股定理得,BF=2,
∴BE=BF+EF=2+2
,
由(2)知,BE=AF,
∴AF=2+2.
故当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候,线段AF的长为2-2或2
+2.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A、点B均不重合).
(1)当AE=8时,求EF的长;
(2)设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P到达点B时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
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【题目】某单位组织职工开展植树活动,植树量与人数之间的关系如表,下列说法不正确的是( )
A.参加本次植树活动共有29人
B.每人植树量的众数是4
C.每人植树量的中位数是5
D.每人植树量的平均数是5
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD边的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,当BP=_____时,四边形APQE的周长最小.
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【题目】已知菱形的边长为
,
=120°,对角线
相交于点
,以点
为坐标原点,分别以
所在直线为
轴、
轴,建立如图所示的直角坐标系,以
为对角线作菱形
菱形
,再以
为对角线作菱形
菱形
,再以
为对角线作菱形
菱形
,…,按此规律继续做下去,设菱形
的面积为
,菱形
的面积为
,…,菱形
的面积为
,则
_____.
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【题目】如图,△AB.C内接于⊙0,点D在半径OB的延长线上,∠BCD=∠A=30°.
(1)判断直线CD与⊙0的位置关系,并说明理由
(2)若⊙0的半径为1,求阴影部分面积.
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【题目】如图,圆锥母线长厘米.
(1)若底面圆的半径为厘米,则侧面展开扇形图的圆心角为__________;
(2)若一只蚂蚁从点出发沿侧面爬行一周回到出发点,最短路径长
厘米,则侧面展开扇形图的圆心角为__________.
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【题目】如图,是
的直径,点
是圆上不与点
重合的动点,连接
并延长到点
,使
,点
是
的中点,连接
.
(1)求证:;
(2)填空:①若,当
时,四边形
是菱形;
②当四边形是正方形时,
________°
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【题目】某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在水平地面上BD上,在C点测得点A的仰角为30°,斜面EC的坡度为1:,测得B、E间距离为10米,立柱AB高30米,求立柱CD的高(结果保留根号).
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