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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过ABC的三个顶点,与y轴相交于(0,),点A坐标为(1,2),点B是点A关于y轴的对称点,点C在x轴的正半轴上.

(1)求该抛物线的函数关系表达式.

(2)点F为线段AC上一动点,过F作FEx轴,FGy轴,垂足分别为E、G,当四边形OEFG为正方形时,求出F点的坐标.

(3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,当点E和点C重合时停止运动,设平移的距离为t,正方形的边EF与AC交于点M,DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在请说明理由.

【答案】(1)y=x2+;(2)(1,1);(3)当DMN是等腰三角形时,t的值为,3或1.

【解析】

试题分析:(1)易得抛物线的顶点为(0,),然后只需运用待定系数法,就可求出抛物线的函数关系表达式;

(2)当点F在第一象限时,如图1,可求出点C的坐标,直线AC的解析式,设正方形OEFG的边长为p,则F(p,p),代入直线AC的解析式,就可求出点F的坐标;当点F在第二象限时,同理可求出点F的坐标,此时点F不在线段AC上,故舍去;

(3)过点M作MHDN于H,如图2,由题可得0t2.然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2,分三种情况(DN=DM,ND=NM,MN=MD)讨论就可解决问题.

试题解析:(1)点B是点A关于y轴的对称点,

抛物线的对称轴为y轴,

抛物线的顶点为(0,),

故抛物线的解析式可设为y=ax2+

A(1,2)在抛物线y=ax2+上,

a+=2,

解得a=

抛物线的函数关系表达式为y=x2+

(2)当点F在第一象限时,如图1,

令y=0得,x2+=0,

解得:x1=3,x2=3,

点C的坐标为(3,0).

设直线AC的解析式为y=mx+n,

则有

解得

直线AC的解析式为y=x+

设正方形OEFG的边长为p,则F(p,p).

点F(p,p)在直线y=x+上,

∴﹣p+=p,

解得p=1,

点F的坐标为(1,1).

当点F在第二象限时,

同理可得:点F的坐标为(3,3),

此时点F不在线段AC上,故舍去.

综上所述:点F的坐标为(1,1);

(3)过点M作MHDN于H,如图2,

则OD=t,OE=t+1.

点E和点C重合时停止运动,0t2.

当x=t时,y=t+,则N(t,t+),DN=t+

当x=t+1时,y=(t+1)+=t+1,则M(t+1,t+1),ME=t+1.

在RtDEM中,DM2=12+(t+1)2=t2t+2.

在RtNHM中,MH=1,NH=(t+t+1)=

MN2=12+(2=

当DN=DM时,

t+2=t2t+2,

解得t=

当ND=NM时,

t+=

解得t=3

当MN=MD时,

=t2t+2,

解得t1=1,t2=3.

0t2,t=1.

综上所述:当DMN是等腰三角形时,t的值为,3或1.

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