Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；同时点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作正方形PQEF，使它与矩形ABCD在BC的同侧，点P，Q同时出发，当点P返回点M时，则两点停止运动，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点P运动到BM的中点时，t=　 　；

（2）设正方形PQEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式及t的取值范围；

（3）连结AC，当正方形PQEF与△ADC重叠部分为三角形时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1或3；（2）①S=4t2；②S=6t；③S=﹣3t+18；（3）＜t≤或t=2

【解析】分析：（1）求出BM=BC=2，当点P第一次运动到BM的中点时，PM=BM=1，得出t=1；当点P第二次运动到BM的中点时，运动的路程=3，得出t=3即可；
（2）分为三种情况：①当0<t≤1.5时，PQ=2t，由正方形面积公式即可得出答案；
②当1.5<t≤2时得出PQ=2t，AB=3，由矩形面积即可得出答案；
③当2<t≤4时，求出PC=6-t，AB=3，由矩形面积即可得出答案；
（3）当点E在AC上时，得出△CEQ∽△CAB，得出对应边成比例，即可得出t的值；当F在AC上时，△CPF∽△CBA，得出对应边成比例，即可得出t的值；当点F在EA的延长线上时，点E在CD的延长线上，此时t=2；即可得出答案．

详解：（1）∵BC=4，点M是BC的中点，

∴BM=BC=2，

当点P第一次运动到BM的中点时，PM=BM=1，

∴t=1；

当点P第二次运动到BM的中点时，运动的路程=2+1=3，

∴t=3；

故答案为：1或3；

（2）分为三种情况：

①如图1，当0＜t≤1.5时，

∵PQ=2t，

∴S=（2t）2，

∴S=4t2；

②如图2，

当1.5＜t≤2时，

∵PQ=2t，AB=3，

∴S=6t；

③如图3，

当2＜t≤4时，

∵PC=6﹣t，AB=3，

∴S=﹣3t+18；

（3）如图4，

当点E在AC上时，

∵△CEQ∽△CAB，

∴，

∴，

∴t=，

当F在AC上时，

∵△CPF∽△CBA，

∴，

∴，

∴t=；当点F在EA的延长线上时，点E在CD的延长线上，此时t=2；

∴t的取值范围是＜t≤或t=2．