Question

【题目】如图，△ABC的边BC在直线l上，AD是△ABC的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2cm．点P从点B出发沿BC方向以1cm/s速度向点C运动，当点P到点C时，停止运动．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，PS=2PQ．矩形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s）．回答下列问题：

（1）AD= cm；

（2）当点R在边AC上时，求t的值；

（3）求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）①当0＜t≤时，S= 2t2．②当＜t＜2时，S=-t2+15t-9．

③当2≤t＜6时，S=t2-3t+9．

【解析】

试题分析：（1）由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得AD=BD，再由AB=2cm，即可得出AD的长；

（2）根据QR∥BC，可证明△AQR∽△ABC，从而得出，即，解得t即可；

（3）分三段进行讨论：

①当0＜t≤时（图1），根据∠B=45°，∠BPQ=90°，即可得出∠BQP=45°，则PQ=BP=t，从而得出S与t之间的函数关系式；

②当＜t＜2时（图2），根据∠BAD=45°，则BD=AD=2cm，从而得出CD，即可证明△FSC∽△ADC，得比例式，则SF=3-t，再求得FR，由ER∥SC，得∠REF=∠C，即可证明△ERF∽△CDA，则，ER=5t-6，从而得出S与t之间的函数关系式；

③当2≤t＜6时（图3），根据PQ∥AD，得△ERF∽△CDA，则，即，得出QP=3-t，从而得出S与t之间的函数关系式．

试题解析：（1）∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABC=45°，

∴AD=BD，

∵AB=2cm，

∴AD=2cm，

（2）∵QR∥BC，

∴△AQR∽△ABC，

∴，即，

解得，t=；

（3）①当0＜t≤时（图1），∠B=45°，∠BPQ=90°，

∴∠BQP=90°-45°=45°

∴PQ=BP=t

∴S=S矩形PQRS=2tt=2t2．

②当＜t＜2时（图2）∠BAD=90°-45°=45°

BD=AD=2cm

CD=6-2=4cm．

SF∥AD

∴△FSC∽△ADC

∴，即，

SF=3-t，

∴FR=t-（3-t）=-3，

∵ER∥SC，

∴∠REF=∠C

又∠REF=∠ADC=90°

∴△ERF∽△CDA

∴，

即，

ER=5t-6，

∴S=S矩形PQRS-S△ERF=2t2-（5t-6）（t-3）

=-t2+15t-9．

③当2≤t＜6时（图3）

∵PQ∥AD

∴△ERF∽△CDA，

∴，

即，

∴QP=3-t

∴S=S△QPC=（3-t）（6-t）

=t2-3t+9．