Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD中， BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF=AE，连接CF．

（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；

（2）若AF=9，CF=3，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）四边形EBCF是矩形，证明见解析；（2）CD =5

【解析】

（1）由菱形的性质证得EF=BC，由此证明四边形EBCF是平行四边形.，再利用BE⊥AD即可证得四边形EBCF是矩形；

（2）设CD=x，根据菱形的性质及矩形的性质得到DF=9-x，再利用勾股定理求出答案.

（1）四边形EBCF是矩形

证明：∵四边形ABCD菱形，

∴AD=BC，AD∥BC.

又∵DF=AE，

∴DF+DE=AE+DE，

即：EF = AD.

∴ EF = BC.

∴四边形EBCF是平行四边形.

又∵BE⊥AD，

∴ ∠BEF=90°.

∴四边形EBCF是矩形.

（2） ∵ 四边形ABCD菱形，

∴ AD=CD.

∵ 四边形EBCF是矩形，

∴ ∠F=90°.

∵AF=9，CF=3，

∴设CD=x， 则DF=9-x，

∴ ，

解得：

∴CD =5.