Question

已知等腰△ABC，AB=AC，若已知其底角的正切值为

1

3

，一边长为10，求△ABC的周长和面积．

Answer 1

考点：解直角三角形,等腰三角形的性质

专题：

分析：作△ABC底边上的高AD．由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，BC=2BD=2DC，根据正切函数的定义可设AD=x，则BD=3x，在△ABD中，由勾股定理得AB=

AD2+BD2

=

10

x．再分两种情况进行讨论：①腰长为10；②底边长为10．

解答：解：如图，作△ABC底边上的高AD．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BC=2BD=2DC，
∴tan∠B=

AD

BD

=

1

3

，
设AD=x，则BD=3x，
在△ABD中，由勾股定理得AB=

AD2+BD2

=

10

x．
①如果腰长为10，那么

10

x=10，解得x=

10

，
所以BC=2BD=6x=6

10

，
△ABC的周长=AB+AC+BC=20+6

10

，
△ABC的面积=

1

2

BC•AD=

1

2

×6

10

×

10

=30；
②如果底边长为10，那么6x=10，解得x=

5

3

，
所以AB=AC=

5 10

3

，
△ABC的周长=AB+AC+BC=

10 10 +30

3

，
△ABC的面积=

1

2

BC•AD=

1

2

×10×

5

3

=

25

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．