【题目】如图,有一菱形纸片ABCD,∠A=60°,将该菱形纸片折叠,使点A恰好与CD的中点E重合,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上,联结EF,那么cos∠EFB的值为____.
【答案】
【解析】
连接BE,由菱形和折叠的性质,得到AF=EF,∠C=∠A=60°,由cos∠C=,,得到△BCE是直角三角形,则,则△BEF也是直角三角形,设菱形的边长为,则EF=,,由勾股定理,求出FB=,则,即可得到cos∠EFB的值.
解:如图,连接BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD,∠C=∠A=60°,AB∥DC,
由折叠的性质,得AF=EF,
则EF=ABFB,
∵cos∠C=,
∵点E是CD的中线,
∴,
∴,
∴△BCE是直角三角形,即BE⊥CD,
∴BE⊥AB,即△BEF是直角三角形.
设BC=m,则BE=,
在Rt△BEF中,EF=,
由勾股定理,得:,
∴,
解得:,
则,
∴;
故答案为:.
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【题目】某校为了深入学习社会主义核心价值观,对本校学生进行了一次相关知识的测试,随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计(根据成绩分为、、、、五个组,表示测试成绩,组:;组:;组:;组:;组:),通过对测试成绩的分析,得到如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答以下问题:
(1)抽取的学生共有______人,请将两幅统计图补充完整;
(2)抽取的测试成绩的中位数落在______组内;
(3)本次测试成绩在80分以上(含80分)为优秀,若该校初三学生共有1200人,请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人?
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【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且BC为⊙O的直径,在劣弧上取一点D,使,将△ADC沿AD对折,得到△ADE,连接CE.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若CEC D,劣弧的弧长为π,求⊙O的半径.
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【题目】(2017四川省达州市,第10题,3分)已知函数的图象如图所示,点P是y轴负半轴上一动点,过点P作y轴的垂线交图象于A,B两点,连接OA、OB.下列结论:
①若点M1(x1,y1),M2(x2,y2)在图象上,且x1<x2<0,则y1<y2;
②当点P坐标为(0,﹣3)时,△AOB是等腰三角形;
③无论点P在什么位置,始终有S△AOB=7.5,AP=4BP;
④当点P移动到使∠AOB=90°时,点A的坐标为(,).
其中正确的结论个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,正方形ABCD的过长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD、BC交于点F、E,连接AE.
(1)求证:AQ⊥DP;
(2)求证:AO2=ODOP;
(3)当BP=1时,求QO的长度.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在边BC、DC上,AB2 =BE · DC ,DE:EC=3:1 ,F是边AC上的一点,DF与AE交于点G.
(1)找出图中与△ACD相似的三角形,并说明理由;
(2)当DF平分∠ADC时,求DG:DF的值;
(3)如图,当∠BAC=90°,且DF⊥AE时,求DG:DF的值.
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【题目】综合与实践—探究正方形旋转中的数学问题
问题情境:已知正方形中,点在边上,且.将正方形绕点顺时针旋转得到正方形(点,,,分别是点,,,的对应点).同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.
特例分析:(1)“乐思”小组提出问题:如图1,当点落在正方形的对角线上时,设线段与交于点.求证:四边形是矩形;
(2)“善学”小组提出问题:如图2,当线段经过点时,猜想线段与满足的数量关系,并说明理由;
深入探究:(3)请从下面,两题中任选一题作答.我选择题.
A.在图2中连接和,请直接写出的值.
B.“好问”小组提出问题:如图3,在正方形绕点顺时针旋转的过程中,设直线交线段于点.连接,并过点作于点.请在图3中补全图形,并直接写出的值.
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【题目】如图,正方形ABCD边长为3,M、N在对角线AC上且∠MBN=45°,作ME⊥AB于点E、NF⊥BC于点F,反向延长ME、NF交点G,则GEGF的值是( )
A.3B.3 C. D.
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