Question

【题目】如图，正方形ABCD的过长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE．

（1）求证：AQ⊥DP；

（2）求证：AO2＝ODOP；

（3）当BP＝1时，求QO的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）QO＝．

【解析】

（1）由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP．

（2）根据相似三角形的性质得到AO2＝ODOP

（3根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，由△QOE∽△PAD，可得，解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵BP＝CQ，

∴AP＝BQ，

在△DAP与△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P＝∠Q，

∵∠Q+∠QAB＝90°，

∴∠P+∠QAB＝90°，

∴∠AOP＝90°，

∴AQ⊥DP；

（2）证明：∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，

∴∠DAO＝∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2＝ODOP．

（3）解：∵BP＝1，AB＝3，

∴AP＝4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE＝，∴QE＝，

∵△QOE∽△PAD，

∴=

∴QO＝．