Question

20．数与数的关系有时真奇妙，例如，2+2=2×2，3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，即两个数的和恰好等于它们的积．
（1）猜想：按此规律，第3个等式应该是：4+$\frac{4}{3}$=4×$\frac{4}{3}$；n个等式应该是：n+$\frac{n}{n-1}$=n×$\frac{n}{n-1}$；
（2）拓展：n能否改为其它实数呢？
当n=$\frac{1}{2}$时，上述等式为：$\frac{1}{2}$+（-1）=$\frac{1}{2}×（-1）$；当n=-2时，上述等式为：-2+$\frac{2}{3}$=（-2）×$\frac{2}{3}$；
（3）若设满足该规律的两数为a和b（ab≠0），试证明a、b满足关系式．$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1．

Answer 1

分析 （1）由已知易得整数与分数的分子分母的关系，根据规律写出即可；
（2）根据（1）的规律易得当n=$\frac{1}{2}$时，分子为$\frac{1}{2}$，分母为$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$，可得结果；当n=-2时，分子为-2，分母为-3，可得结果；
（3）由规律可得b=$\frac{a}{a-1}$，代入证明即可．

解答 （1）解：∵2+2=2×2，3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，
∴第3个等式应该是：4+$\frac{4}{4-1}$=4$+\frac{4}{3}$=4×$\frac{4}{3}$；n个等式应该是：n+$\frac{n}{n-1}$=n×$\frac{n}{n-1}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$=4×$\frac{4}{3}$，$\frac{n}{n-1}$=n×$\frac{n}{n-1}$；

（2）解：由（1）的规律得：
当n=$\frac{1}{2}$时，分子为$\frac{1}{2}$，分母为$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$，
∴等式为：$\frac{1}{2}+$（-1）=$\frac{1}{2}$×（-1）；
当n=-2时，分子为-2，分母为-3，
∴等式为：（-2）$+\frac{2}{3}$=（-2）×$\frac{2}{3}$；
故答案为：（-1）=$\frac{1}{2}×（-1）$，$\frac{2}{3}$=（-2）×$\frac{2}{3}$；

（3）证明：∵a，b是满足规律的两个数，
∴b=$\frac{a}{a-1}$，
∴$\frac{1}{b}=\frac{a-1}{a}$，
∴$\frac{1}{b}=1-\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=1．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，根据已知分析得出规律是解答此题的关键．