Question

2．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②a-b+c=0；③-1≤a≤-$\frac{2}{3}$；④4a+2b+c＜2；其中正确的结论是（　　）

• A． ①③④
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当x＞3时，y＜0；②由抛物线与x轴交于点A（-1，0）可知a-b+c=0，③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则y=ax²-2ax-3a，令x=0得：y=-3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤-3a≤3．④由抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），且开口向下，根据图象可知当x=2时，y=4a+2b+c＞0．

解答 解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），
∴当x=-1时，y=a-b+c=0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则y=ax²-2ax-3a，
令x=0得：y=-3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤-3a≤3．
解得：-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，故③正确；
④∵抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），且开口向下，
∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故④错误．
故选：B．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．