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【题目】如图1,点P为四边形ABCD所在平面上的点,如果∠PAD=PBC,则称点P为四边形ABCD关于AB的等角点,以点C为坐标原点,BC所在直线为轴建立平面直角坐标系,点B的横坐标为﹣6

1)如图2,若AD两点的坐标分别为A﹣64)、D04),点PDC边上,且点P为四边形ABCD关于AB的等角点,则点P的坐标为 _________ 

2)如图3,若AD两点的坐标分别为A﹣24)、D04).

①若PDC边上时,则四边形ABCD关于AB的等角点P的坐标为 _________ 

②在①的条件下,将PB沿轴向右平移个单位长度(06)得到线段PB,连接PDBD,试用含的式子表示PD2+BD2,并求出使PD2+BD2取得最小值时点P的坐标;

③如图4,若点P为四边形ABCD关于AB的等角点,且点P坐标为(1 ),求的值;

④以四边形ABCD的一边为边画四边形,所画的四边形与四边形ABCD有公共部分,若在所画的四边形内存在一点P,使点P分别是各相邻两顶点的等角点,且四对等角都相等,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

【答案】1)(02);(203);2m2-12m+53,(33);2.8-13),(-22),(-33),(-20

【解析】试题分析:(1)连结APBP,由全等三角形的性质就可以得出PD=PC而得出结论;

2ADP∽△BCP就可以得出而求出结论;

求出代表P′D2+B′D2的方程式,并求最小值.

画图求证△PAM∽△PBN,值得注意的是本题有两个图形,容易漏掉一个答案.

由题意可知,必须是正方形才能满足题干要求.

试题解析:解:(1)由B点坐标(﹣60),A点坐标(﹣64)、D点坐标(04),可以得出四边形ABCD为矩形,

∵PCD边上,且∠PAD=∠PBC∠ADP=∠BCPBC=AD

∴△ADP≌△BCP∴CP=DP

∴P点坐标为(02);

2①∵∠DAP=∠CBP∠BCP=∠ADP=90°

∴△ADP∽△BCP

==

∴CP=3DP∴CP=3DP=1

∴P点坐标为(03);

如图3,由题意,易得 B′m﹣60),P′m3

由勾股定理得P′D2+B′D2=PP′2+PD2+OD2+B′C2=m2+4﹣32+42+m﹣62=2m2﹣12m+53

∵20

∴P′D2+B′D2有最小值,

m=﹣=3时,(在0m6范围内)时,P′D2+B′D2有最小值,此时P′坐标为(33);

由题意知,点P在直线x=1上,延长AD交直线x=1M

a)如图,当点P在线段MN上时,易证△PAM∽△PBN

解得t=28

(b)如图,当点PBA的延长线与直线x=1的交点时,易证△PAM∽△PBN

,即,解得t=7

综上可得,t=28t=7

因满足题设条件的四边形是正方形,

故所求P的坐标为(﹣13),(﹣22),(﹣33),(﹣20).

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A. B.

C. D.

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