Question

【题目】如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，﹣4）代入y=kx﹣6，得k=2，

∴y=2x﹣6，

令y=0，解得：x=3，

∴B的坐标是（3，0）．

∵A为顶点，

∴设抛物线的解析为y=a（x﹣1）2﹣4，

把B（3，0）代入得：4a﹣4=0，

解得a=1，

∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3

（2）

解：存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=﹣x．

设P（m，﹣m），则﹣m=m2﹣2m﹣3，解得m= （m= ＞0，舍），

∴P（ ， ）

（3）

解：①当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，

∴ = ，即 = ，∴DQ1= ，

∴OQ1= ，即Q1（0， ）；

②当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，

∴ = ，即 = ，

∴OQ2= ，即Q2（0， ）；

③当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ3∽△Q3EA，

∴ = ，即 = ，

∴OQ32﹣4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，

即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．

综上，Q点坐标为（0， ）或（0 ）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

【解析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=﹣x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．