Question

8．如图1，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，求证：GE=BE+GD；
（3）如图2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC=6，E是AB边上一点，且∠GCE=45°，BE=2，求GE的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出CB=CD，∠CBE=∠CDF=90°，然后根据SAS证得△CBE≌△CDF，即可证得结论；
（2）首先证得∠GCF=∠GCE=45°，然后根据SAS证得△ECG≌△FCG，即可证得GE=GF=DF+GD=BE+GD；
（3）图2中将梯形ABCG补成图1所示的正方形ABCD，再延长AD到F使得DF=BE，由（1）（2）结论知GE=GD+BE，设GD=x，则AG=6-x，AE=6-2=4，GE=x+2，然后根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求得GD的长，即可求得EG的长．

解答 （1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠CBE=∠CDF=90°，
在△CBE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠CBE=∠CDF}\\{DF=BE}\end{array}\right.$
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF；
（2）证明：∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°，
由（1）可知△CBE≌△CDF，
∴∠DCF=∠BCE，BE=DF，
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=45°，
在△ECG和△FCG中
$\left\{\begin{array}{l}{EC=FC}\\{∠GCE=∠GCF=45°}\\{GC=GC}\end{array}\right.$
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，
即GE=BE+GD；
（3）解：图2中将梯形ABCG补成图1所示的正方形ABCD，再延长AD到F使得DF=BE，
由（1）（2）结论知GE=GD+BE，
设GD=x，∵AB=BC=6，BE=2，
∴AG=6-x，AE=6-2=4，GE=x+2，
∵EG²=AG²+AE²，
∴（x+2）²=（6-x）²+4²，
解得x=3，
∴GE=BE+GD=2+3=5．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用，（3）根据（1）（2）结论将梯形ABCG补成图1所示的正方形是解题的关键．