Question

14．已知：抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C，其中A（-1，0），C（0，2）
（1）抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）点M为直线BC上方的抛物线上一点，当△MBC的面积最大时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过A（-1，0），C（0，2），利用待定系数法列出b和c的二元一次方程组，求出b和c的值即可；
（2）当过点M的直线与直线BC平行且与抛物线相切时，△MBC的面积最大，设该直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+m，联立方程组求出m的值，进而求出点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过A（-1，0），C（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）当过点M的直线与直线BC平行且与抛物线相切时，△MBC的面积最大，
如图，点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，2），直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，

设点M的直线与直线BC平行且与抛物线相切的直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$，
即x²-4x+2m-4=0，
△=16-4（2m-4）=0，
解得m=4，
当m=4时，x²-4x+4=0，
解得x=2，
当x=2时，y=3，
故M点的坐标为（2，3）．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是根据抛物线图象找出M点的所在位置，此题有一定的难度．