Question

【题目】已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．

（Ⅰ）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长；

（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）如图①，先由切线得∠OAB+∠BAC=90°，再利用OC⊥OB的∠BOC=90°，然后根据对顶角相等和等腰三角形的形式可求解；

（2）先判断△OEB为等腰直角三角形，得到∠OBE=∠OEB=45°，然后根据平行线的性质可得∠DAC=∠ADC，可得AC=CD=1，OC=OA=，由此得解.

试题解析：（1）∵AC与⊙O相切，∴∠OAC=90°．

∵∠OCA=60°，∴∠AOC=30°．∵OC⊥OB，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=AD，∠DAC=60°∴AD=CD=AC．

∵OA=1，∴OD=AC=OAtan∠AOC=．

（2）∵OC⊥OB，∴∠OBE=∠OEB=45°．∵BE∥OA，∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB，

∴OA=AC，∠OAB=∠OBA=22.5°，∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°．

∵∠DAC=90°﹣∠OAB=67.5°=∠ADC，∴AC=CD．∵OC==，∴OD=OC﹣CD=﹣1．