Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；
④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），EF的最小值等于BC的一半．
上述结论中始终正确的有（　　）

• A、①④
• B、①②
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠1=∠2，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
在△APE与△CPF中，

∠3=∠4 AP=CP ∠1=∠2

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正确；
②由△APE≌△CPF得到PE=PF，
∵∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确；
③由△APE≌△CPF得到S_△APE=S_△CPF，则S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=

1

2

S_△ABC，故③正确；
④∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AB=

2

2

BC，
由②知，△EPF是等腰直角三角形，则EF=

2

EP．当EP⊥AB时，EP去最小值，此时EP=

1

2

AB，则EF_最小值=

2

2

AB=

2

2

•

2

2

BC=

1

2

BC．故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个．
故选D．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及到等腰三角形和直角三角形的性质，难度适中．