【题目】
如图1,抛物线与x轴交于点、点(点在点左侧),与轴交于点,点为顶点,已知点、点的坐标分别为、。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线上方的抛物线上找一点,使的面积最大,求点坐标;
(3)如图2,连结、,抛物线的对称轴与x轴交于点。过抛物线上一点作,交直线于点,求当时点的坐标。
【答案】(1)抛物线的表达式为:;
(2)当时,S△BCD取最大值,此时P(,);
(3)点M坐标为(,)或().
【解析】试题分析:(1)把点A(-1,0)和点B(3,0)的坐标代入所给抛物线可得a、b的值,进而得到该抛物线的解析式;(2) )由题意设P(),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q,再求得直线CB解析式,可得点Q的坐标,再求得PQ的长,利用S△BCD=得出以S、x为变量的二次函数模型,利用二次函数的性质求得x的值,即可得点P的坐标.(3)先求得点C,点E和顶点的坐标,再分当点M在对称轴右侧时和当点M在对称轴左侧时两种情况求解即可.
试题解析:
解:(1)将A(-1,0)、B(3,0)两点代入得:
解得:
∴抛物线的表达式为:
(2)由题意设P(),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q,
直线CB解析式:, 则Q()
∴PQ=
S△BCD=
∵,∴当时,S△BCD取最大值,
此时P()
(3)∵抛物线y=﹣(x﹣3)(x+1)=﹣x2+2x+3与与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,3),顶点(1,4),E(1,0)
∴tan∠BDE=
(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时.
i)若点N在射线CD上,
如图,过点N作y轴的垂线,垂足为G,过点M作GN的垂线,垂足为H,
则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形,
∵∠CMN=∠BDE,∴tan∠CMN = tan∠BDE
∴△CNG,△MNH相似比为1:2
设CG=a,则NG=a,NH=NH=2a,
∴M(3a,3+a-2a),即M(3a,3-a),
代入得:
解得:
此时M()
ii)若点N在射线DC上,
如图,过点N作x轴的垂线l,分别过点M、C作GN的垂线,垂足为H、G,
则△CNG,△MNH均为等腰直角三角形,
∵∠CMN=∠BDE,∴tan∠CMN = tan∠BDE
∴△CNG,△MNH相似比为1:2
设CG=a,则NG=a,NH=NH=2a,
∴M(a,3-a-2a),即M(a,3-3a),
代入得:
解得:
此时M()
(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时.
∵∠CMN=∠BDE<45°,
∴∠MCN>45°,
而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,
∴点M不存在.
综上可知,点M坐标为( , )或().
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