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【题目】

如图1,抛物线与x轴交于点、点(点在点左侧),与轴交于点,点为顶点,已知点、点的坐标分别为

(1)求抛物线的解析式;

(2)在直线上方的抛物线上找一点,使的面积最大,求点坐标;

(3)如图2,连结,抛物线的对称轴与x轴交于点。过抛物线上一点,交直线于点,求当时点的坐标。

【答案】(1)抛物线的表达式为:

(2)当时,SBCD取最大值,此时P(

(3)点M坐标为()或(.

【解析】试题分析:(1)把点A(-1,0)和点B(3,0)的坐标代入所给抛物线可得a、b的值,进而得到该抛物线的解析式;(2) )由题意设P(),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q,再求得直线CB解析式,可得点Q的坐标,再求得PQ的长,利用SBCD=得出以S、x为变量的二次函数模型,利用二次函数的性质求得x的值,即可得点P的坐标.(3)先求得点C,E和顶点的坐标,再分当点M在对称轴右侧时和当点M在对称轴左侧时两种情况求解即可.

试题解析:

解:(1)将A(-1,0)、B(3,0)两点代入得:

解得:

抛物线的表达式为:

(2)由题意设P(),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q,

直线CB解析式:, 则Q(

PQ=

SBCD=

时,SBCD取最大值,

此时P(

(3)抛物线y=﹣(x﹣3)(x+1)=﹣x2+2x+3与与y轴交于点C,

C点坐标为(0,3),顶点(1,4),E(1,0)

tanBDE=

(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时.

i)若点N在射线CD上,

如图,过点N作y轴的垂线,垂足为G,过点M作GN的垂线,垂足为H,

CNG,MNH均为等腰直角三角形,

∵∠CMN=BDE,∴tanCMN = tanBDE

∴△CNG,MNH相似比为1:2

设CG=a,则NG=a,NH=NH=2a,

M(3a,3+a-2a),即M(3a,3-a),

代入得:

解得:

此时M(

ii)若点N在射线DC上,

如图,过点N作x轴的垂线l,分别过点M、C作GN的垂线,垂足为H、G,

CNG,MNH均为等腰直角三角形,

∵∠CMN=BDE,tanCMN = tanBDE

∴△CNG,MNH相似比为1:2

设CG=a,则NG=a,NH=NH=2a,

M(a,3-a-2a),即M(a,3-3a),

代入得:

解得:

此时M(

(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时.

∵∠CMN=BDE<45°,

∴∠MCN>45°,

而抛物线左侧任意一点K,都有KCN<45°,

点M不存在.

综上可知,点M坐标为( )或().

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