Question

将矩形ABCD折叠使点D与点B重合，折痕EF，若S_△ABE：S_△BFE=4：5，则tan∠BFE=

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：如图，首先通过作辅助线证明CF=AE；根据S_△ABE：S_△BFE=4：5，求出线段BF、AE之间的数量关系；根据勾股定理求出DC的长度；利用直角三角形的边角关系求出tan∠BFE的值即可解决问题．

解答：解：如图，连接BD交EF于点O；
由题意得点O为BD的中点；
连接AC；
∵四边形ABCD为矩形，
∴对角线AC、BD互相平分，
故AC必过点O，OA=OC；
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
∵S_△ABE：S_△BFE=4：5，且S△ABE=

1

2

AE•AB，S△BEF=

1

2

BF•AB，
∴

AE

BF

=

4

5

，；
设AE=4k，BF=5k，
则FC=AE=4k；
由题意得：DF=BF=5k；
由勾股定理得：
DC²=DF²-FC²=25k²-16k²=9k²，
∴DC=3k；过点E作EG⊥BF，
则四边形ABGE为矩形，
∴GE=AB=DC=3k，BG=AE=4k，
∴GF=4k-3k=k，
∴tan∠BFE=

EG

FG

=

3k

k

=3，
故答案为：3．

点评：该命题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，根据矩形的性质及翻折变换的特点找出图中线段之间的数量关系，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．