Question

14．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点，且DB=EC．
（1）画图：在BC边上找一点P，使点P到点D、点E的距离的和最短（简要说明
画法，保留画图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，证明PB=PC．

Answer 1

分析 （1）作点E关于直线BC的对称点E′，连接DE′，DE′与直线BC的交点P的位置即为所求．
（2）连接CE′，由对称轴的性质得EC=EC′，进而求得DB=E′C，然后根据AAS证得△PBD≌△PCE′，根据全等三角形对应边相等从而证得结论．

解答 解；（1）如图，作点E关于直线BC的对称点E′，连接DE′，DE′与直线BC的交点P的位置即为所求．
（2）连接CE′，由对称轴的性质得EC=EC′，
∵DB=EC，
∴DB=E′C，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ECB=∠E′CP=60°，
在△PBD和△PCE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E′CP}\\{∠BPD=∠CPE′}\\{DB=E′C}\end{array}\right.$
∴△PBD≌△PCE′（AAS），
∴PB=PC．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，三角形全等的判定和性质，涉及正三角形的性质、两点之间线段最短等知识．