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【题目】如图,抛物线yx2+bx﹣2x轴交于AB两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)判断ABC的形状,证明你的结论;

(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当MC+MA的值最小时,求点M的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=x﹣2,顶点D的坐标为,﹣);(2)ABC是直角三角形,证明见解析;(3)点M的坐标为(,﹣).

【解析】

(1)因为点A在抛物线上所以将点A代入函数解析式即可求得答案

(2)由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标即可求得ABBCAC的长由勾股定理的逆定理可得三角形的形状

(3)根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x对称求出点BC的坐标根据轴对称性可得MAMB两点之间线段最短可知MC+MB的值最小.则BC与直线x交点即为M利用得到系数法求出直线BC的解析式即可得到点M的坐标

1)∵点A(﹣1,0)在抛物线ybx﹣2,∴b×(﹣1)﹣2=0,解得b∴抛物线的解析式为yx﹣2.

yx﹣2x2﹣3x﹣4 )∴顶点D的坐标为).

(2)当x=0y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.

y=0x﹣2=0,∴x1=﹣1,x2=4,∴B (4,0),∴OA=1,OB=4,AB=5.

AB2=25,AC2OA2+OC2=5,BC2OC2+OB2=20,∴AC2+BC2AB2.∴△ABC是直角三角形

(3)∵顶点D的坐标为),∴抛物线的对称轴为x

∵抛物线yx2+bx﹣2x轴交于AB两点∴点A与点B关于对称轴x对称

A(﹣1,0),∴点B的坐标为(4,0),x=0yx﹣2=﹣2,则点C的坐标为(0,﹣2),BC与直线x交点即为M如图根据轴对称性可得MAMB两点之间线段最短可知MC+MB的值最小

设直线BC的解析式为ykx+bC(0,﹣2),B(4,0)代入可得解得,∴yx﹣2.

xy∴点M的坐标为().

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