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【题目】在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.

(1)初步尝试:我们知道:tan60°=   ,tan30°=   ,发现结论:tanA   2tanA(填“=”或“≠”);

(2)实践探究:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tanA的值;小明想构造包含A的直角三角形:延长CAD,使得DAAB,连接BD,所以得到∠DA,即转化为求∠D的正切值.

请按小明的思路进行余下的求解:

(3)拓展延伸:如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tanA

①tan2A   

tan3A的值.

【答案】(1),≠;(2)﹣2;(3)①;②.

【解析】

(1)直接利用特殊角的三角函数值得结论;

(2)根据题意,利用勾股定理求AC,得结论

(3)①作AB的垂直平分线交ACE,连接BE,则∠BEC=2A,在RtEBC中,利用勾股定理求出EC,求tanBEC得结果;

②作BMAC于点M,使∠MBE=EBA,则∠BMC=3A.利用角平分线的性质和勾股定理求出EM的长,求tanBMC得结果.

(1)tan60°=,tan30°=

发现结论:tanA≠2tanA,

故答案为:,≠;

(2)在RtABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,

AB=

如图1,延长CAD,使得DA=AB,

AD=AB=

∴∠D=ABD,

∴∠BAC=2D,CD=AD+AC=2+

tanA=tanD=﹣2;

(3)①如图2,AB的垂直平分线交ACE,连接BE,

则∠BEC=2A,AE=BE,A=ABE

RtABC中,∠C=90°,AC=3,tanA=

BC=1,AB=

AE=x,则EC=3﹣x,

RtEBC中,x2=(3﹣x)2+1,

解得x=,即AE=BE=,EC=

tan2A=tanBEC=

故答案为:

②如图3,作BMAC于点M,使∠MBE=EBA,

则∠BMC=A+MBA=3A.

EM=y,则MC=EC﹣EM=﹣y,

∵∠MBE=EBA,

,即

BM=y,

RtMBC中,BM2=CM2+BC2

即(y)2=(﹣y)2+1,

整理,得117y2+120y﹣125=0,

解得,y1,y2=﹣(不合题意,舍去)

EM=,CM=

tan3A=tanBMC=

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