【题目】在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.
(1)初步尝试:我们知道:tan60°= ,tan30°= ,发现结论:tanA 2tan∠A(填“=”或“≠”);
(2)实践探究:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tan∠A的值;小明想构造包含∠A的直角三角形:延长CA至D,使得DA=AB,连接BD,所以得到∠D=∠A,即转化为求∠D的正切值.
请按小明的思路进行余下的求解:
(3)拓展延伸:如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tanA=.
①tan2A= ;
②求tan3A的值.
【答案】(1),,≠;(2)﹣2;(3)①;②.
【解析】
(1)直接利用特殊角的三角函数值得结论;
(2)根据题意,利用勾股定理求AC,得结论;
(3)①作AB的垂直平分线交AC于E,连接BE,则∠BEC=2∠A,在Rt△EBC中,利用勾股定理求出EC,求tan∠BEC得结果;
②作BM交AC于点M,使∠MBE=∠EBA,则∠BMC=3∠A.利用角平分线的性质和勾股定理求出EM的长,求tan∠BMC得结果.
(1)tan60°=,tan30°=,
发现结论:tanA≠2tan∠A,
故答案为:,,≠;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,
∴AB==,
如图1,延长CA至D,使得DA=AB,
∴AD=AB=,
∴∠D=∠ABD,
∴∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+,
∴tan∠A=tan∠D==﹣2;
(3)①如图2,作AB的垂直平分线交AC于E,连接BE,
则∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE
∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tanA=,
∴BC=1,AB=,
设AE=x,则EC=3﹣x,
在Rt△EBC中,x2=(3﹣x)2+1,
解得x=,即AE=BE=,EC=,
∴tan2A=tan∠BEC==,
故答案为:;
②如图3,作BM交AC于点M,使∠MBE=∠EBA,
则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A.
设EM=y,则MC=EC﹣EM=﹣y,
∵∠MBE=∠EBA,
∴,即,
∴BM=y,
在Rt△MBC中,BM2=CM2+BC2
即(y)2=(﹣y)2+1,
整理,得117y2+120y﹣125=0,
解得,y1=,y2=﹣(不合题意,舍去)
即EM=,CM=﹣=,
∴tan3A=tan∠BMC=,
==.
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【题目】请判断下列问题中,哪些是反比例函数,并说明你的依据.
(1)三角形的底边一定时,它的面积和这个底边上的高;
(2)梯形的面积一定时,它的中位线与高;
(3)当矩形的周长一定时,该矩形的长与宽.
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【题目】如图,等边△ABC 内接于⊙O,P 是上任一点(点 P 不与点 A、B 重合),连 AP、BP,过点 C 作 CM∥BP 交 PA 的延长线于点 M.
(1)填空:∠APC= 度,∠BPC= 度;
(2)求证:△ACM≌△BCP;
(3)若 PA=1,PB=2,求梯形 PBCM 的面积.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当MC+MA的值最小时,求点M的坐标.
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【题目】如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为( )
A. B. C. 1 D. 2
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【题目】下列命题:
①在函数:y=-2x-1;y=3x;y=;y=-;y=(x<0)中,y随x增大而减小的有3个函数;
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;
③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线,它只是中心对称图形;
④已知数据x1、x2、x3的方差为s2,则数据x1+2,x3+2,x3+2的方差为s3+2.
其中是真命题的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线过原点;②a﹣b+c<0;③4a+b+c=0;④抛物线的顶点坐标为(2,b);⑤当x<1时,y随x增大而增大.其中结论正确的是( )
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ③④⑤
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【题目】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连结DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP=x.
⑴当x为何值时,△APD是等腰三角形?
⑵若设BE=y,求y关于x的函数关系式;
⑶若BC的长可以变化,在现在的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?若存在,求出相应的AP的长;若不存在,请说明理由,并直接写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C.
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【题目】请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
(1)探究1,如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=3,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,过点D做BC边上的高DE,则DE与BC的数量关系是 ,△BCD的面积为 ;
(2)探究2,如图②,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由;
(3)探究3:如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程.
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