Question

【题目】材料阅读：

如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．

解决问题：

（1）图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点（无需写解答过程）；

（3）如图③所示的矩形ABCD，将矩形ABCD沿CM折叠后，点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究点E的位置．

Answer 1

【答案】（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）详见解析；（3）E为AB的中点．

【解析】

（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解；
（2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；
（3）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE=∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，边之间的数量关系，从而可求出E点的位置．

解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由是：

∵∠A=40°，

∴∠ADE+∠DEA=140°，

∵∠DEC=40°，

∴∠BEC+∠DEA=140°，

∴∠ADE=∠BEC，

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；

（2）作图如下：

（3）若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

则△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

由折叠得：∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠BCD=30°，

∴BE=CE=AB，

即E为AB的中点．