【题目】如图,在边长为8的等边△ABC中,点D是AB的中点,点E是平面上一点,且线段DE=2,将线段EB绕点E顺时针旋转60得到线段EF,连接AF.
(1)如图1,当BE=2时,求线段AF的长;
(2)如图2,求证:AF=CE;
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
(1)作AG⊥BC于G点,延长FE交AG于H点,构造有60角的直角三角形,再运用勾股定理可求解;
(2)利用等边三角形的性质可证明△FBA≌△EBC,从而证明AF=CE.
解:(1)作AG⊥BC于G点,延长FE交AG于H点
∵AB=AC,
∴∠BAG=30,
∵EB绕点E顺时针旋转60得到线段EF,
∴∠BEF=60,
∴∠BEF=∠B,
∴EF∥BC,
∵AG⊥BC,
∴AG⊥FH,
在Rt△AEH中,∵AE=6,∠EAH=30,
∴,,
在Rt△AFH中,.
(2)连接FB,
∵EB绕点E顺时针旋转60得到线段EF,
∴△EBF是等边三角形,
∴FB=EB, ∴∠FBE=∠ABC=60
∴∠FBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA
即∠FBA=∠EBC,
又∵AB=BC,
∴△FBA≌△EBC ,
∴AF=CE,
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
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【题目】为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
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【题目】若二次函数y=kx2+(3k+2)x+2k+2.
(1)求证:抛物线与x轴有交点.
(2)经研究发现,无论k为何值,抛物线经过某些特定的点,请求出这些定点.
(3)若y1=2x+2,在﹣2<x<﹣1范围内,请比较y1,y的大小.
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【题目】如图,已知AB是⊙P的直径,点在⊙P上,为⊙P外一点,且∠ADC=90°,直线为⊙P的切线.
⑴ 试说明:2∠B+∠DAB=180°
⑵ 若∠B=30°,AD=2,求⊙P的半径.
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【题目】如图,已知二次函数的图象过点,是中点.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)已知,点在抛物线上,点在轴上,当四点构成以为边的平行四边形,求此时点的坐标.
(3)将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折,得曲线(为关于轴的对称点),在原抛物线轴的上方部分取一点,连接,与翻折后的曲线交于点. 若的面积是面积的3倍,这样的点是否存在?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图①,B,C,E是同一直线上的三个点, 四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形.连接BG,DE.
(1)探究BG与DE之间的数量关系, 并证明你的结论;
(2)当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时,线段BG和ED有何关系? 写出结论并证明.
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【题目】如图1,矩形的顶点,的坐标分别为(2,0),(0,3) ,抛物线:经过,两点.抛物线的顶点为.
(1)求抛物线的表达式和点的坐标;
(2)点是抛物线对称轴上一动点,当为等腰三角形时,求所有符合条件的点的坐标;
(3)如图2,现将抛物线进行平移,保持顶点在直线上,若平移后的抛物线与射线只有一个公共点.设平移后抛物线的顶点横坐标为,求的值或取值范围.
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【题目】小明和小亮玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2,3,4(背面完全相同),现将标有数字的一面朝下.小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和.若和为奇数,则小明胜;若和为偶数,则小亮胜.
(1)请你用画树状图或列表的方法,求出这两数和为6的概率.
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由.
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