【题目】如图,已知二次函数的图象过点,是中点.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)已知,点在抛物线上,点在轴上,当四点构成以为边的平行四边形,求此时点的坐标.
(3)将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折,得曲线(为关于轴的对称点),在原抛物线轴的上方部分取一点,连接,与翻折后的曲线交于点. 若的面积是面积的3倍,这样的点是否存在?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)二次函数解析式为:;(2);(3)存在满足条件的点,点的坐标为.
【解析】
(1)利用待定系数法,代入A,B两点坐标,解一个含有a,b的二元一次方程组即可求得:
(2)存在这样的点有四个,运用平行四边形相关性质通过平移进行分类求解:
(3)为存在性问题通过的面积是面积的3倍这一关键信息进行分析求得.
(1)∵抛物线过原点,∴设其解析式为:
∵抛物线经过点,
∴,解得
∴二次函数解析式为:
(2)点在抛物线上,Q的坐标为,
①当H,Q在直线PA下方时:
,,将P向右平移3个单位,向上平移个单位得到A,同样有点Q向右平移3个单位,向上平移个单位得到H,此时点在轴上,得到,求得x=3或1,此时H为(4,0)或(6,0).
②当H,Q在直线PA上方时:同理可得H的坐标为.
综上H的坐标为 .
(3)依题意,翻折之后的抛物线解析式为:.
假设存在这样的点,
∵的面积是的面积的3倍,
∴,∴.
如图所示,分别过点作轴的垂线,
垂足分别为点、点,则有.
∴,∴.
设,
则,
∴.
∵,∴,
整理得:,
解得:,
∴存在满足条件的点,点的坐标为.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线如图所示.已知点A的坐标为(1,-1),过点A作轴交抛物线于点,过点作交抛物线于点,过点作轴交抛物线于点,过点作交抛物线于点,……,依次进行下去,则点的坐标为( )
A.(1010,-10102)B.(-1010,-10102)C.(1009,-10092)D.(-1009,-10092)
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【题目】在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则的最小值为________.
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【题目】如图,在边长为8的等边△ABC中,点D是AB的中点,点E是平面上一点,且线段DE=2,将线段EB绕点E顺时针旋转60得到线段EF,连接AF.
(1)如图1,当BE=2时,求线段AF的长;
(2)如图2,求证:AF=CE;
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【题目】如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面
的最大距离是5m.
(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如下图)
你选择的方案是_____(填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是______,求出你所选方案中的抛物线的表达式;
(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.
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【题目】如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为8,则GE+FH的最大值为__________ .
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【题目】抛物线经过点,且对称轴为直线,其部分图象如图所示. 对于此抛物线有如下四个结论:
①;②;
③若,则时的函数值小于时的函数值;
④点不在此抛物线上. 其中正确结论的序号是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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