Question

【题目】已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（5，0）、B（-3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；

（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO =∠BAO，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为（，）.

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式；

（2）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，进而可得出点D的坐标，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，由点B，D的坐标可得出CD，BC的长度，结合余切的定义可求出∠BDO的余切值；

（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出cot∠∠BAC＝2，结合∠PAO＝∠BAO可得出m﹣2n＝5①，由BC⊥x轴，PQ⊥x轴可得出BC∥PQ，进而可得出4m＝﹣3n②，联立①②可得出点P的坐标．

解：（1）∵ 抛物线经过点A（5，0）、B（-3，4），

∴

解得

∴ 所求抛物线的表达式为．

（2）由，得抛物线的对称轴为直线．

∴ 点D（，0）．

过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．

由A（5，0）、B（-3，4），得 BC = 4，OC = 3，．

∴ ．

（3）设点P（m，n）．

过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．则 PQ = -n，OQ = m，AQ = 5 – m．

在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∴ ．

∵ ∠PAO =∠BAO，∴ ．

即得 ． ①

由 BC⊥x轴，PQ⊥x轴，得 ∠BCO =∠PQA = 90°．

∴ BC // PQ．

∴ ，即得 ．∴ 4 m = - 3 n． ②

由 ①、②解得 ，．

∴ 点P的坐标为（，）．