Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+4与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，且点B的坐标为（4，0），点E（m，0）为x轴上的一个动点，过点E作直线l⊥x轴，与抛物线y＝ax2﹣x+4交于点F，与直线AC交于点G．

（1）分别求抛物线y＝ax2﹣x+4和直线AC的函数表达式；

（2）当﹣8＜m＜0时，求出使线段FG的长度为最大值时m的值；

（3）如图2，作射线OF与直线AC交于点P，请求出使FP：PO＝1：2时m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）当m＝﹣4时，FG有最大值，最大值为2；（3）m的值为﹣4或﹣4﹣4或﹣4+4．

【解析】

（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，再根据抛物线的解析式求得A、C的坐标，再根据待定系数法求出直线AC的函数表达式即可；

（2）由点E的坐标为（m，0），可得点F的坐标为（m，﹣m2﹣+4），G（m， m+4），从而得到FG与m的函数关系式，然后依据配方法求得FG的最大值，以及m的取值即可；

（3）①先证明△PEG∽△POC，由相似三角形的性质可求得FG＝2，由（2）可知此时m的取值；②如图，当G点在F点上方时，证明△FGP∽△OCP，再根据相似三角形的性质求出此时m的取值．

（1）∵将B（4，0）代入抛物线的解析式得：16a﹣2+4＝0，解得：a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣．

∵令y＝0得；﹣x2﹣＝0，解得；x1＝﹣8，x2＝4，

∴A（﹣8，0）．

∵令x＝0得：y＝4，

∴C（0，4）．

设直线AC的解析式为y＝kx+b

∵将点A、C的坐标代入得：，解得：k＝，b＝4，

∴直线AC的解析式为y＝．

（2）∵点E的坐标为（m，0），

∴点F的坐标为（m，﹣m2﹣+4），G（m， m+4）．

∴FG＝﹣m2﹣+4﹣（m+4）＝m2﹣m＝﹣（m+4）2+2．

∴当m＝﹣4时，FG有最大值，最大值为2．

（3）①∵FG∥OC，

∴△PEG∽△POC．

∴．

∴时，FP：PO＝1：2．

∴．

∴FG＝2．

由（2）可知当m＝﹣4时，FG有最大值，最大值为GF＝2．

∴m＝﹣4．

②如图，当G点在F点上方时，

∵FG∥CO，

∴∠GFP＝∠COP，

∵∠FGP＝∠OPC，

∴△FGP∽△OCP，

∴＝＝，

∵CO＝4，

∴FG＝2，

∵G点在F点上方，

∴FG＝（m+4）﹣（﹣m2﹣+4）＝m2+，

∴m2+＝2，

解得m＝﹣4±4．

综上所述，m的值为﹣4或﹣4﹣4或﹣4+4．