Question

5．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）当M在AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请求t的值；若不可以，请说明理由．
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究$\frac{CQ}{RQ}$是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直线平行得出Rt△AQM∽Rt△CAD，再利用对应边的比值相等求出即可；
（2）点M在线段AB上运动时，以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出；
（3）$\frac{CQ}{RQ}$为定值．当t＞2时，如备用图2，先证明四边形AMQP为矩形，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△CRQ∽△CAB，再利用比例线段可求$\frac{CQ}{RQ}$．

解答 解：（1）∵AB∥DC，
∴Rt△AQM∽Rt△CAD．
∴$\frac{QM}{AM}$=$\frac{AD}{CD}$．
即 $\frac{QM}{0.5}$=$\frac{4}{2}$，
∴QM=1．

（2）∵根据题意可得当0≤t≤2时，以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，
此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，
②当∠PQC=90°时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴$\frac{EQ}{PE}$=$\frac{MA}{QM}$，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴$\frac{4-2t}{2t-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{5}{3}$；
③当2＜t≤6时，
可得CD=DP=2时，∠DCP=45°，
可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，
此时t=4，
综上所述，t=1或 $\frac{5}{3}$或4；
（3）$\frac{CQ}{RQ}$为定值．
当t＞2时，如备用图2，PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t，
由（1）得，BF=AB-AF=4，
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA，
∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴四边形AMQP为矩形，
∴PQ∥AB，
∴△CRQ∽△CAB，
∴$\frac{CQ}{RQ}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{C{F}^{2}+B{F}^{2}}}{AB}$=$\frac{4\sqrt{2}}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直角三角形的判定等知识，题目综合性较强，分类讨论时要考虑全面，根据t的取值范围进行讨论是解决问题的关键．