Question

10．如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D（1，n）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x-2）²+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；
存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，$\frac{9}{4}$），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=$\frac{9}{4}$，N′P=AQ=3，将y=-$\frac{9}{4}$代入得：-$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{4}$x²+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．

解答 解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
则可求得抛物线函数关系式为y=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3=-$\frac{3}{4}$x²+3x；

（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故直线AC解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
与抛物线解析式联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
则点D坐标为（1，$\frac{9}{4}$）；
存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：

四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，
由对称性得到M（3，$\frac{9}{4}$），即DM=2，故AN=2，
∴N₁（2，0），N₂（6，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：

过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=$\frac{9}{4}$，NP=AQ=3，
将y_M=-$\frac{9}{4}$代入抛物线解析式得：-$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{4}$x²+3x，
解得：x_M=2-$\sqrt{7}$或x_M=2+$\sqrt{7}$，
∴x_N=x_M-3=-$\sqrt{7}$-1或$\sqrt{7}$-1，
∴N₃（-$\sqrt{7}$-1，0），N₄（$\sqrt{7}$-1，0）．
综上所述，满足条件的点N有四个：N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（-$\sqrt{7}$-1，0），N₄（$\sqrt{7}$-1，0）．

点评 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．