Question

【题目】定义：形如y＝|G|（G为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．

例如，函数y＝|x﹣1|，y＝，y＝|﹣x2+2x+3|都是绝对值函数．

绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y＝|x|写成分段函数的形式：．

探索并解决下列问题：

（1）将函数y＝|x﹣1|写成分段函数的形式；

（2）如图1，函数y＝|x﹣1|的图象与x轴交于点A（1，0），与函数y＝的图象交于B，C两点，过点B作x轴的平行线分别交函数y＝，y＝|x﹣1|的图象于D，E两点．求证△ABE∽△CDE；

（3）已知函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象与y轴交于F点，与x轴交于M，N两点（点M在点N的左边），点P在函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象上（点P与点F不重合），PH⊥x轴，垂足为H．若△PMH与△MOF相似，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）P的坐标为（6，21），（，），（，）．

【解析】

(1)根据题中规定的写法写出即可．

(2)根据题意分别得出B、C、E、D的坐标,根据对应边成比例且夹角相等即可证明相似．

(3)根据题意先算出F、M、N的坐标,再利用设坐标点的方法,分类讨论,根据相似对应边成比例代入求解即可．

(1)；

(2)∵函数y＝|x﹣1|与函数的图象交于B,C,过点B作x轴的平行线分别交函数,y＝|x﹣1|的图象于D,E两点．

∴根据条件得各点坐标为：B(3,2),C(﹣2,3),E(﹣1,2),D(﹣3,2)．

∴BE＝3﹣(﹣1)＝4,DE＝﹣1﹣(﹣3)＝2,AE＝,CE＝,

∴在△AEB和△CED中,∠AEB＝∠CED,,

∴△PMB∽△PNA．

(3)P的坐标为(6,21),(, ),(,)．

当x＝0时,y＝|﹣x2+2x+3|＝3,∴F(0,3)．

当y＝0时,|﹣x2+2x+3|＝0,∴x1＝﹣1,x2＝3,∴M(﹣1,0),N(3,0)．

由题意得y＝|﹣x2+2x+3|＝,

设P的横坐标为x,

当x＜﹣1时,由题意得P(x,x2﹣2x﹣3),

若△PMH∽△FMO, ,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝0(舍去)．

若△PMH∽△MFO, ,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝(舍去)．

当﹣1＜x＜3时,由题意得P(x,﹣x2+2x+3),

若△PMH∽△MFO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝．

∴P的坐标为(,)．

若△PMH∽△MFO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝0(舍去)．

当x＞3时,由题意P(x,x2﹣2x﹣3),

若△PMH∽△FMO,,．

解得x1＝﹣1(舍去),x2＝6．

∴P的坐标为(6,21)．

若△PMH∽△MFO,,．

解得 x1＝﹣1(舍去),x2＝．

∴P的坐标为(,)．

综上：P的坐标为(6,21),(,),(,)．