Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．

　　　

（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？

（2）若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．

①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON=OC；

②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似；（2）①说明见解析；②ON-OM=OC，理由见解析．

【解析】

(1)根据题意先把OA、OB的值算出来，再根据相似三角形的性质列出等量关系式，即可把时间t算出来.

(2) ①在ON的延长线的截取ND=OM，证CN=CM并且△CND≌△CMO，接着把∠COD的度数算出来，即可证明OM+ON=OC；

②先证△CDO为等腰直角三角形，再证明△CDN≌△COM即可得到.

（1）由题意，得OA=6，OB=2．

当0<t<2时，OM=6-3t，ON=t．

若△ABO∽△MNO，则，即．解得t=1．

若△ABO∽△NMO，则，即．解得t=1.8．

综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．

（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND=OM．

∵直线y=x与x轴的夹角为，∴OC平分∠AOB．

∴∠AOC=∠BOB．

∴．

∴CN=CM．

又∵ 在⊙O中∠CNO+∠CMO=180°，∠DNC+∠CNO=180°，

∴∠CND=∠CMO．

∴△CND≌△CMO．

∴CD=CO，∠DCN=∠OCM．

又∵∠AOB=90°，∴MN为⊙O的直径．

∴∠MCN=90°．

∴∠OCM+∠OCN=90°．

∴∠DCN+∠OCN=90°．

∴∠OCD=90°,

又∵CD=CO，∴OD=OC．

∴ON+ND=OC,

∴OM+ON=OC．

②当 t >2时，ON-OM=OC．

过点C作CD⊥OC交ON于点D．

∵∠COD=45°，

∴△CDO为等腰直角三角形，

∴OD=OC，

连接MC，NC，

∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN=90°，

又∵在⊙O中，∠CMN=∠CNM=45°，∴MC=NC，

又∵∠OCD=∠MCN=90°，∴∠DCN=∠OCM，

∴△CDN≌△COM．∴DN=OM，

又∵OD=OC．，∴ON-DN=OC，

∴ON-OM=OC．