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【题目】如图,在ABCD中,对角线ACBD相交于点O,点EF分别为OBOD的中点,延长AEG,使EGAE,连接CG

1)求证:△ABE≌△CDF

2)当ABAC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2)当AC=2AB时,四边形EGCF为矩形;理由见解析

【解析】

1)由平行四边形的性质得出AB=CDABCDOB=ODOA=OC,由平行线的性质得出∠ABE=CDF,证出BE=DF,由SAS证明ABE≌△CDF即可;
2)证出AB=OA,由等腰三角形的性质得出AGOB,∠OEG=90°,同理:CFOD,得出EGCF,由三角形中位线定理得出OECGEFCG,得出四边形EGCF是平行四边形,即可得出结论.

1)∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=CDABCDOB=ODOA=OC
∴∠ABE=CDF
∵点EF分别为OBOD的中点,
BE=OBDF=OD
BE=DF
ABECDF中,

∴△ABE≌△CDFSAS);
2)解:当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形;理由如下:
AC=2OAAC=2AB
AB=OA
EOB的中点,
AGOB
∴∠OEG=90°
同理:CFOD
AGCF
EGCF
EG=AEOA=OC
OEACG的中位线,
OECG
EFCG
∴四边形EGCF是平行四边形,
∵∠OEG=90°
∴四边形EGCF是矩形.

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