Question

【题目】在中，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点分别为）．

（1）问题发现如图1，若与重合时，则的度数为____________；

（2）类比探究：如图2，设与BC的交点为，当为的中点时，求线段的长；

（3）拓展延伸在旋转过程中，当点分别在的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，直接写出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）

【解析】

（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC=，依据∠A'BC=90°，可得，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；
（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到，依据tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，进而得出PQ=PB+BQ=；
（3）依据S四边形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3-．

解：（1）由旋转可得：，

，

，

，，

，

，

，

．

（2）为的中点，

,

山旋转可得，，

，

，

，

，

，

；

（3）四边形

四边形最小即最小，

，

取的中点，，，即，

当最小时，最小，，即与正合时,最小，

，，

的最小值， 四边形=．